Materi Himpunan

himpunan semesta

Masih ingat tentang himpunan? pasti kalian sudah dapat materinya waktu SD, cuma lupa. jadi, untuk mengingatkan tentang materi himpunan saya akan memberikan gambaran sedikit. anda tahu jeruk,apel,duren,mangga? itu termasuk himpunan dari buah-buahan. kalau becak, motor, mobil, itu termasuk golongan / himpunan dari kendaraan. nah, untuk lebih memahami materi ini saya sajikan penjelasan dari Himpunan yang saya kutip dari blog sebelah ( http://taufiqurraman.blogspot.com/p/matematika.html ). selamat belajar

 

Himpunan

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Kompetensi Dasar
Melalui proses pembelajaran himpunan siswa
mampu:
1. menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab,
responsif dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.
2. memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta emiliki
rasa percya pada daya dan keguanaan matematika, yang terbentuk melalui
pengalaman belajar.
3. memahami pengertian himpunan, himpunan bagian, komplemen himpunan, operasi
himpunan dan menunjukkan contoh dan bukan contoh.

Pengalaman Belajar
Melalui proses pembelajaran himpunan, siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut.
• terlatih berpikir kritis dan kreatif
• menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata.
• dilatih bekerjasama dalam kelompok belajar (tim) untuk menemukan solusi permasalahan.
• dilatih mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka.
• merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari.

B. Peta Konsep

C. MATERI PEMBELAJARAN
1. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN
Materi pembelajaran yang akan kita bahas saat ini adalah materi himpunan. Kamu pasti sering menghadapi masalah kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan himpunan, misalnya ketika guru menyuruh kamu mencatat nama-nama teman satu kelas yang absen pada hari tertentu, ketika orang tua menyuruh kamu mencatat nama-nama barang kebutuhan sehari-hari yang akan dibeli agar pada waktu belanja tidak terlupakan, dan masih banyak lagi. Amatilah pengelompokan negara-negara yang menjadi peserta piala dunia pertandingan sepak bola tahun 2010 di Afrika Selatan yang disajikan dalam Gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1

Negara-negara Peserta Piala Dunia Pertandingan Sepak Bola Tahun 2010 di Afrika Selatan

Misalkan nama negara-negara peserta piala dunia FIFA tersebut diwakili dengan huruf pertamanya, contoh: South Africa diwakili dengan huruf ‘S’, Brazil diwakili dengan huruf ‘B’, dan seterusnya. Gambar 1.1 di atas dapat kita ubah dalam bentuk diagram berikut.

Gambar 1.2 Diagram Negara Peserta Piala Dunia Sepak Bola Tahun 2010

Berdasarkan gambar 1.2 di atas, kita temukan hal-hal berikut.

a) Negara yang tergabung di grup A adalah: {South Africa, Mexico, Uruguay, France}

b) Negara yang tergabung di grup E adalah: {Netherlands, Denmark, Japan, Cameroon}

c) Seluruh peserta tergabung di dalam 8 group yaitu: {group A, group B, group C, group D, group E,

group F, group G, group H}

d) Australia berada di group D

e) Brazil dan Portugal sama-sama berada di group G.

f) Setiap group anggotanya adalah 4 negara.

g) Negara yang bertanding seluruhnya ada 32 negara. Seluruh negara peserta pertandingan piala dunia ini

merupakan anggota himpunan semesta dari himpunan yang menjadi objek pembicaraan.

Contoh 1.1

Himpunan A adalah himpunan semua huruf vokal. Penulisan himpunan A tersebut dapat kita lakukan

sebagai berikut.

A = himpunan semua huruf vokal

Berdasarkan himpunan A, kita peroleh:

- Nama himpunannya adalah himpunan A.

- Anggota himpunan A adalah a, i, u, e, dan o.

- Banyak anggota himpunan A adalah 5

Gambar 1.3

Himpunan A dan Himpunan B

Untuk lebih memperjelas konsep anggota himpunan, amatilah kedua gambar diatas.

Dari Gambar 1.4 di samping kita temukan hal berikut.

> Himpunan A memuat unsur x maka dikatakan bahwa x adalah anggota himpunan A atau sering disebut

x adalah elemen himpunan A, dilambangkan dengan x ∈ A.

> Himpunan B memuat unsur 2 maka dikatakan 2 adalah anggota himpunan B atau sering disebut 2 adalah elemen himpunan B dilambangkan dengan 2 ∈ B.

> Apakah ada unsur lain di himpunan A selain x? Dengan cara seperti di atas sebutkan anggota-anggota yang lain himpunan A.

> Apakah ada unsur lain di himpunan B selain 2? Dengan cara seperti di atas sebutkan anggota-anggota yang lain himpunan B.

> Kesimpulan apa yang bisa kamu tarik?

Perhatikan kembali Gambar 1.4 di atas. Kita menemukan juga hal-hal berikut.

> Himpunan A tidak memuat unsur 2 maka disebut “2 bukan anggota himpunan A” atau “2 bukan elemen himpunan A” yang disimbolkan dengan 2 ∉ A.

> Himpunan B tidak memuat unsur y maka dikatakan “y bukan anggota himpunan B” atau “y bukan elemen

himpunan B” yang disimbolkan dengan y ∉ B.

> Dari himpunan A dan B, temukanlah unsur-unsur yang tidak ada di himpunan A dan himpunan B!

> Apa yang bisa kamu simpulkan? Berdiskusilah dengan temanmu!

Contoh 1.2

A = {3, 5, 7}.

B = {2, 3, 5, 7}.

C = {a, i, u, e, o}

b. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada Contoh 1.2 dan bandingkan dengan contoh di bawah ini!

Contoh 1.3

A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8

B = Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10

C = Himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin

c. Menuliskan notasi pembentuk himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut.

Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut.

A = { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh 1.4

A = {x | 1 < x < 8, x adalah bilangan ganjil},

(dibaca A adalah himpunan yang anggotanya x, dengan (syarat) x lebih dari 1 dan x kurang dari 8 dan

x adalah bilangan ganjil)

B = {y | y < 10, y adalah bilangan prima}

C = {z | z adalah huruf vokal dalam abjad Latin}

Contoh 1.5

Misalkan A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan ganjil.

B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan prima.

C adalah himpunan semua huruf vokal sedangkan himpunan semestanya adalah huruf abjad latin.

      Penyajian himpunan dengan diagram Venn.

Gambar 1.4 Diagram Venn Himpunan

Contoh 1.6

Gambar 1.5

Diagram Venn Himpunan A dan B

Perhatikan Gambar 1.5 berikut!

1. Sebutkanlah anggota himpunan A, B, dan S!

2. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B?

3. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S?

4. Apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A?

Penyelesaian

1. Anggota himpunan A dan anggota himpunan B

A = {1, 3, 5, 7}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

2. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B.

Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dapat kita tunjukkan melalui diagram venn berikut.

Kesimpulan: seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B.

Karena seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B maka disebut bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B.

3. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S, dapat kita tunjukkan melalui langkah-langkah berikut.

●● Ambil anggota pertama dari himpunan A, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan A adalah {3, 5, 7}, ternyata 1 ada di himpunan S.

● Ambil anggota kedua dari himpunan A, yaitu 3 sehingga sisa anggota himpunan A adalah {5, 7}, ternyata 3 ada di himpunan S.

● Ambil anggota ketiga dari himpunan A, yaitu 5 sehingga sisa anggota himpunan A adalah {5, 7}, ternyata 5 ada di himpunan S.

● Ambil anggota keempat dari himpunan A, yaitu 7 sehingga sisa anggota himpunan A adalah { }, ternyata 7 ada di himpunan S.

Kesimpulan: setiap anggota himpunan A merupakan himpunan S. Karena setiap anggota himpunan A

merupakan himpunan S maka himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S.

Gambar 1.6

Diagram Venn Himpunan A dan B

4 Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A.

Dengan cara yang sama seperti point (2), pemeriksaannya kita lakukan sebagai berikut.

Ambil anggota pertama himpunan B, yaitu 1 sehingga

sisa anggota himpunan B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ternyata 1 bukan anggota himpunan A.

Karena ada anggota himpunan B yang bukan merupakan anggota himpunan A maka himpunan B bukan himpunan bagian dari himpunan A.

Definisi : Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B superset dari A jika dan

hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan A ⊂ B atau B

⊃ A. Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan

dengan A ⊄ B.

Contoh 1.7

Diberikan himpunan-himpunan:

P = { x | x bilangan asli, 0 < x < 10}

Q = { x | x bilangan asli, 0 < x < 6 }

R = { x | x bilangan prima, 0 < x < 6}

Periksa apakah: 1) P ⊂ Q; 2) Q ⊂ P; 3) Q ⊂ R; 4) R ⊂ Q; 5) R ⊂ P; 6) P ⊂ R

Penyelesaian

1) Kita periksa apakah P ⊂ Q

Untuk menunjukkan apakah P ⊂ Q, kita tunjukkan apakah setiap anggota himpunan P merupakan anggota himpunan Q.

Himpunan P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Himpunan Q = {1,2,3,4,5}

● Ambil anggota pertama dari himpunan P yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan P = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ternyata 1 ada di himpunan Q.

● Ambil anggota kedua dari himpunan P yaitu 2 sehingga, sisa anggota himpunan P = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ternyata 2 ada di himpunan Q.

● Ambil anggota ketiga dari himpunan P yaitu 3 sehingga, sisa anggota himpunan P = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, ternyata 3 ada di himpunan Q.

● Ambil anggota keempat dari himpunan P yaitu 4 sehingga, sisa anggota himpunan P = {5, 6, 7, 8, 9}, ternyata 4 ada di himpunan Q.

● Ambil anggota kelima dari himpunan P yaitu 5 sehingga, sisa anggota himpunan P = {6, 7, 8, 9}, ternyata 5 ada di himpunan Q.

● Ambil anggota keenam dari himpunan P yaitu 6 sehingga, sisa anggota himpunan P = {7, 8, 9}, ternyata 6 bukan anggota himpunan Q.

● Karena ada anggota himpunan P yang bukan merupakan anggota himpunan Q maka himpunan P bukan himpunan bagian dari himpunan Q dilambangkan dengan P ⊄ Q

2) Kita periksa apakah Q ⊂ P

Dengan cara yang sama dengan langkah pada point (1) kita lakukan sebagai berikut.

● Ambil anggota pertama himpunan Q yaitu 1 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {2, 3, 4, 5}, ternyata 1 ada di himpunan P.

● Ambil anggota kedua dari himpunan Q yaitu 2 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {3, 4, 5}, ternyata 2 ada di himpunan P.

● Ambil anggota ketiga himpunan Q yaitu 3 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {4, 5}, ternyata 3 ada di himpunan P.

● Ambil anggota keempat dari himpunan Q yaitu 4 sehingga, sisa anggota himpunan Q = {5}, ternyata 4 ada di himpunan P.

● Ambil anggota kelima dari himpunan Q yaitu 5 sehingga, sisa anggota himpunan Q = { }, ternyata 5 ada di himpunan P.

● Karena seluruh anggota himpunan Q ada di himpunan P maka disebut bahwa himpunan Q merupakan himpunan bagian dari himpunan P, dilambangkan dengan Q ⊂ P.

Contoh 1.8

Diberikan himpunan A = {1, 3, 5}, carilah himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A

Penyelesaian

Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari A adalah:

(1) Himpunan yang banyak anggotanya 0, yaitu: {}

(2) Himpunan yang banyak anggotanya adalah 1, yaitu {1}, {3}, {5}

(3) Himpunan yang banyak anggotanya adalah 2, yaitu {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}

(4) Himpunan yang banyak anggotanya adalah 3 merupakan himpunan A itu sendiri, yaitu {1, 3, 5}

Berdasarkan uraian di atas himpunan yang anggotanya himpunan-himpunan bagian dari A adalah

{{ }, {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}

Himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A disebut himpunan kuasa dari himpunan A.

Dari alternatif penyelesaian Masalah 1.8 dan penyelesaian Contoh 1.9 di atas, kita tuliskan konsep (pengertian) himpunan kuasa sebagai berikut.

Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya seluruh himpunan bagian dari A,

dilambangkan dengan P(A). Banyak anggota himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan n(P(A)).

Contoh 1.9

Diketahui himpunan A = {h,a,r,u,m} dan B = {m,u,r,a,h}.

a. Selidiki apakah A ⊂ B benar?

b. Selidiki apakah B ⊂ A benar?

c. Perhatikan anggota himpunan A dan B, kesimpulan apa yang bisa anda temukan?

Penyelesaian

a. Untuk menyelediki apakah A ⊂ B, maka kita periksa apakah setiap anggota himpunan A ada pada anggota himpunan B.

      h ∈ A → h ∈ B

      a ∈ A → a ∈ B

      r ∈ A → r ∈ B

      u ∈ A → u ∈ B

      m ∈ A → m ∈ B

Karena semua anggota himpunan A ada di himpunan B, maka A ⊂ B.

b. Untuk menyelidiki apakah B ⊂ A, maka kita periksa apakah setiap anggota himpunan B apakah ada pada anggota himpunan A. Silahkan coba sendiri!

Karena semua anggota himpunan B ada di himpunan A maka B ⊂ A.

c. Jika kita perhatikan anggota himpunan A dan himpunan B, maka kita sebut bahwa anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B. Apakah kamu sepakat? Dengan cara yang lain silahkan buktikan sendiri dengan berdiskusi bersama teman!

Uji Kompetensi - 1.1

1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mencacah seluruh anggotanya!

    a. {x | x ∈ P, x < 20, P bilangan prima}

    b. {x | x adalah bilangan bulat positif yang kurang dari 12}

    c. {x | x adalah kuadrat dari bilangan bulat, x < 100}

    d. {x | x ∈ G, x < 10, G bilangan genap positif}

2. Nyatakan himpunan berikut dengan menuliskan notasi pembentuk himpunannya!

    a. {0,3,6,9,12}

    b. {-3,-2,-1,0,1,2,3}

    c. {m,n,o,p}

3. Tentukanlah apakah setiap pasangan himpunan ini sama

    a. {2}, {{1}}

    b. {1}, {1,{1}}

    c. Ø,{Ø}

    d. {m,n,o,p}, {m,o,p,n}

4. Diketahui A = {2,4,6}, B = {2,6}, B = {4,6} dan D = {4,6,8}. Tentukan pasangan subset

dan supersetnya dari himpunan-himpunan tersebut!

5. Tentukan himpunan mana dari himpunan pada soal no. 4 yang memuat {2}

6. Diketahui P adalah himpunan siswa di kelasmu yang mempunyai adik, nyatakanlah P dengan mendaftar anggotanya, dan Q adalah himpunan siswa di kelasmu yang mempunyai kakak, nyatakanlah Q dengan mendaftar anggotanya. Nyatakanlah himpunan A dan K dalam suatu diagram Venn

7. Tentukan pernyataan mana yang benar dari pernyataan-pernyataan berikut

a. x ∈ {x} b. x ∈ {{x}}

c. {x} ⊂ {x} d. Ø ⊂ {x}

e. {x} ∈ {{x}} f. {x} ∈ {x}

g. Ø ∈ {x} h. {x} ⊂ {{x}}

8. Diketahui A ⊂ C dan B ⊂ C, lukiskanlah seluruh kemungkinan diagram Venn dari himpunan A, B dan C.

9. M adalah himpunan yang didefinisikan oleh {x ϵ B │x2 ≤ 10, x -1 < 2} dengan B adalah himpunan bilangan bulat. Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari M adalah .....

10. Beri dua contoh himpunan A dan B, sehingga A ⊂ B dan A ∈ B!

11. Tentukan bilangan kardinal himpunan berikut!

    a. {a}

    b. {a, {a}}

    c. {a, {a},{a,{a}}}

12. Tentukan bilangan kardinal himpunan berikut!

    a. Ø

    b. {Ø}

    c. {Ø, {Ø}}

    d. {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}

13. Tentukan Himpunan Kuasa dari setiap himpunan berikut!

    a. {a}

    b. {a,b}

    c. {Ø, {Ø}}

    d. {Ø, {Ø},{Ø, {Ø}}}

14. Berapa banyak anggota dari himpunan berikut?

    a. P({a,b,{a,b}})

    b. P({Ø,a,{a},{{a}}})

    c. P(P(Ø))

15. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan himpunan kuasa dari suatu himpunan tertentu!

    a. Ø c. {Ø, {a},{Ø, {a}}}

    b. {Ø, {a}} d. {Ø, {a},{b},{a,b}}

Contoh 1.10

Diketahui himpunan P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Temukanlah sebuah himpunan

yang anggotanya ada di himpunan P dan ada di himpunan Q!

Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah:

P = {1, 3, 5, 7} dan Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif penyelesaian

Masalah 1.12, sebagai berikut.

(1) Ambil elemen pertama dari P, yaitu: 1. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota sebuah himpunan R, yaitu: R = {1}

(2) Ambil elemen kedua dari P yaitu: 3. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan

yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3}.

(3) Ambil elemen ketiga dari P yaitu: 5. Apakah ada pasangan yang sama di Q? ada. Karena ada pasangan

yang sama, kita tuliskan anggota yang sama ini sebagai anggota himpunan R, sehingga R = {1, 3, 5}.

(4) Ambil elemen keempat dari P yaitu: 7. Apakah ada pasangan yang sama di B? tidak ada. Lanjutkan ke

elemen berikutnya.

(5) Karena semua elemen P telah habis, maka kita peroleh himpunan R yang anggotanya merupakan anggota himpunan P dan anggota himpunan Q, yaitu: R = {1, 3, 5}.

(6) Himpunan yang kita peroleh ini disebut irisan himpunan P dan himpunan Q.

Definisi irisan :

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota semesta yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B.

Dilambangkan A ∩ B = {x|x A dan x ∈ B}

Pada diagram Venn di bawah ini, A ∩ B merupakan daerah yang diarsir:

Gambar 1.7

Diagram Venn A ∩ B

Contoh 1.11

Diberikan himpunan X = {a, b} dan Y = {c, d, e}. Carilah irisan himpunan X dan himpunan Y!

Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah:

X = {a, b} dan Y = {c, d, e}

Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif penyelesaian

Masalah-1.12, sebagai berikut.

1. Ambil elemen pertama dari X yaitu a. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke

elemen berikutnya.

2. Ambil elemen kedua dari X yaitu b. Apakah pasangan yang sama ada di Q? Tidak ada. Lanjutkan ke

elemen berikutnya.

3. Karena elemen X telah habis maka tidak ada elemen himpunan X ada di elemen himpunan Y.

> Karena tidak ada elemen X ada di elemen Y, maka kita sebut irisan himpunan X dan himpunan Y

adalah himpunan kosong, di lambangkan dengan X ∩ Y = Ø.

> Jika X ∩ Y = Ø dan Y ∩ X = Ø disebut bahwa himpunan X saling lepas dengan himpunan Y.

Perhatikan kembali contoh berikut.

Contoh 1.12

Perhatikan diagram fenn di bawah ini.

Selidikilah apakah A ∩ B = B ∩ A = Ø!

Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah:

A = {1, 3, 5}

B = {2,4, 6, 8}

Untuk mencari himpunan dimaksud, kita lakukan prosedur sama seperti prosedur pada alternatif pemecahan

Gambar 1.8

Diagram Venn A ∩ B = ∅

Contoh 1.13

Diketahui himpunan A = {1,3,5,7) dan B = {1,2,3,4,5,6,7}. Selidiki apakah: A ⊂ B, bagaimana hubungan

(A ∩ B) dengan himpunan A?

Penyelesaian

Kedua himpunan itu adalah:

A = {1,3,5,7)

B = {1,2,3,4,5,6,7}

Untuk menyelidiki apakah A ⊂ B, kita lakukan langkah berikut.

Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B yaitu: 1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dan 3 ∈

B; 5 ∈ A dan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈B. Karena seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, maka disimpulkan A ⊂ B.

Hubungan A ∩ B dengan himpunan A:

Karena: 1 ∈ A dan 1 ∈ B; 3 ∈ A dandan 5 ∈ B; 7 ∈ A dan 7 ∈ B

Maka (A ∩ B) = {1,3,5,7}.

Ternyata (A ∩ B) = A.

Berdasarkan beberapa contoh di atas, kita peroleh sifat:

Misalkan A dan B adalah dua himpunan.

Jika A ⊂ B, maka A ∩ B = A

Contoh 1.14

Diketahui himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 5 dan B adalah himpunan

bilangan ganjil yang kurang dari 5.

(1) Jika C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan

B, maka tentukanlah anggota himpunan C!

(2) Jika D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan

A, maka tentukanlah anggota himpunan D!

Penyelesaian

Anggota himpunan A dan anggota himpunan B adalah:

A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 3}

(1) C adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.

Untuk menemukan sebuah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan

anggota himpunan B dapat kita lakukan dengan membandingkan anggota himpunan A dan himpunan

B dengan algoritma sebagai berikut.

1. Ambil elemen pertama dari A. Jika elemen tersebut ada di himpunan B hapus dari anggota A, jika

tidak ada di B biarkan pada himpunan A.

2. Ulangi proses tersebut untuk elemen kedua, ketiga sampai semua elemen A telah selesai

dicocokkan.

3. Himpunan A yang tidak terhapus merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota

himpunan A yang bukan anggota himpunan B.

Dengan menggunakan algoritma ini, kita lakukan sebagai berikut.

● Ambil elemen pertama dari A yaitu: 1. Apakah 1 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A = {2, 3, 4}.

● Ambil elemen kedua dari A yaitu: 2. Apakah 2 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 3, 4}.

● Ambil elemen ketiga dari A yaitu: 3. Apakah 3 ada di B? Ya. Maka hapus dari A, sehingga A = {2, 4}.

● Ambil elemen keempat dari A yaitu: 4. Apakah 4 ada di B? Tidak. Maka biarkan pada himpunan A, sehingga A = {2, 4}.

● Karena semua anggota himpunan A telah dicocokkan dengan anggota himpunan B, maka himpunan A yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B.

● Maka himpunan C = {2, 4}. Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B merupakan selisih himpunan A dan B.

(2) D adalah himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A, dengan menggunakan algoritma pada butir (1), kita cari anggota himpunan D sebagai berikut.

● Ambil elemen pertama dari B yaitu: 1. Apakah 1 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B = {3}.

● Ambil elemen kedua dari B yaitu: 3. Apakah 3 ada di A? Ya. Maka hapus dari B, sehingga B = { }.

● Karena semua anggota himpunan B telah dicocokkan dengan anggota himpunan A, maka himpunan B yang tersisa merupakan himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A.

● Maka himpunan D = { }.

Himpunan yang anggotanya seluruh anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A merupakan selisih himpunan B dan A.

Definisi :

Komplemen relatif B terhadap A adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota

himpunan B, dilambangkan dengan A – B.

Uji Kompetensi - 1.2

pilihan ganda

1. Misal A = {1,2,3} dan B = {2,1,5}, maka (A∪B) – A = …

    a. {1, 2}

    b. {3}

    c. {5}

    d. {1, 2, 3, 5}

2. Jika H = {2,4,5}, K = {1,4,7} dan L = {7,5,1}, maka (H – K) ∪ L = …

    a. {1, 0, -2, 7, 5}

    b. {2, 5, 7, 1}

    c. {1}

    d. {5}

3. Misalkan himpunan semesta adalah himpunan semua bilangan asli dan misalkan D = {x | x kelipatan 5} dan E = {x | x kelipatan 10}, maka D – E’ =...

    a. {x | x kelipatan 5, x ganjil}

    b. {x | x kelipatan 5, x x genap}

    c. {x | x kelipatan 50}

    d. {x | x kelipatan 2}

4. Dalam gambar berikut, daerah yang diarsir adalah:

    a. A ∪ C’

    b. A’ ∪ C

    c. A – C

    d. B’ ∪ (C – A)

5. Misalkan P = {Panther, Kijang, Honda, Suzuki}, Q = {Marcedes, Panther, BMW} dan R = {Honda, BMW}, maka P’ ∪ (Q ∪ R) = …

    a. {BMW}

    b. {Marcedes, BMW}

    c. {Panther, Marcedes, Honda}

    d. {Panther, Honda, Kijang, Suzuki, BMW }

6. H ∪ (I – J) =

    a. (H ∪ I) – J

    b. (H ∪ I) – J’

    c. (H ∪ I) ∪ (H ∪ J’)

    d. (H ∪ I) ∪ J’

7. Jika E ={x | (x – 1)2 = 0}, F = {x | x2 = 1} dan G = {x | x2 – 3x + 2 = 0}, maka (E ∪ F’) ∪ G = …

    a. {-1}

    b. {1, 2}

    c. {-1, 2}

    d. {1, -1, 2}

8. Jika A’ ∪ B, maka A’ ∪ (B ∪ A) = …

    a. A’

    b. B

    c. Ø

    d. S

9. Misalkan P = {c, {a,b}, a, d} dan Q = {a,b}, maka P ∪ Q’ = …

    a. {A}

    b. {c, a, d}

    c. {c, {a, b}, d}

    d. {a, b}

10. Jika D = {1, ½, ⅓, , …} dan E = {1, 2, 3, 4, …}, maka E – D = …

    a. {0, 2, -½, 3, -⅓ , 4, - , …}

    b. {0, 2, 3, 4, …}

    c. {1}

    d. {2, 3, 4, 5, …}

B. Essay

1. Diketahui n(P) = 21, n(Q) = 30. Carilah nilai n(P ∪ Q) jika n(P ∪ Q) = 10

2. Sebuah puskesmas sedang merawat pasien sebanyak 40 orang, 23 orang menderita penyakit demam berdarah, 11 orang menderita penyakit diare, 8 orang menderita penyakit demam berdarah dan diare. Berapa orang pasien yang tidak menderita kedua penyakit tersebut?

3. Perhatikan grafik di bawah:

Daerah yang diarsir dibentuk oleh himpunan….(jawaban boleh lebih dari satu)

4. Gambar diagram Venn jika diketahui:

S = Himpunan bilangan cacah kurang dari 7

A = himpunan bilangan prima kurang dari 7

B = himpunan bilangan asli kurang dari 7

5. Dalam sebuah kelas terdapat 50 orang anak. Dari jumlah tersebut, 19 orang anak gemar berenang, 21

orang anak gemar bernyanyi, 19 orang anak gemar sepak takraw, 10 orang anak gemar berenang dan bernyanyi, 10 orang anak gemar bernyanyi dan sepak takraw, 7 orang anak gemar bernyanyi dan sepak

takraw, 6 orang anak gemar berenang dan sepak takraw, dan 4 orang anak gemar ketiga-tiganya.

a. Gambarlah diagram Venn dari keterangan di atas

b. Berapa orang anak yang tidak gemar satupun dari ketiga kegiatan tersebut?

6. Pada saat di sekolah dasar, kamu mengenal faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Sebenarnya keduanya ini dapat dicari dengan menggunakan operasi himpunan. Jelaskan operasi himpunan yang diperlukan untuk mencari FPB dan KPK.

7. Rancang sebuah algoritma untuk mencari A-B. Tunjukkan operasional algoritma mu tersebut bila dipergunakan untuk mencari nilai A-B dimana A = {1,2,3,4,5,6} dan B = {1,3,5,7,9}. Berapa langkah

yang diperlukan untuk memperoleh hasilnya? Berapa perbandingan yang diperlukan sampai hasilnya diperoleh?

8. Perhatikan kegiatan-kegiatan sekolahmu. Bagaimanakah operasi himpunan dipergunakan dalam menjalankan kegiatan sekolah tersebut?

9. Sebuah lembaga penelitian meneliti makanan ringan yang dikonsumsi anak-anak. Dari hasil penelitian,

tercatat 18 merek mengandung zat pewarna sintetik, 24 merek mengandung penyedap rasa buatan, dan 10 merek mengandung kedua zat tersebut. Jika ada 9 merek tidak mengandung zat pewarna sintetik maupun penyedap rasa buatan, berapa merek makanan ringan yang diteliti oleh lembaga penelitian tersebut?

10. Dalam tesing penerimaan CPNS pada tahun 2012 yang lalu, seseorang dinyatakan diterima apabila lulus tes karakater pribadi, tes potensi akademik, dan tes wawasan kebangsaan sekaligus. Untuk mengisi formasi guru Matematika, terdapat 100 orang peserta yang ikut tesing. Pada saat pengumuman hasil tes, 20 orang hanya lulus tes karakter pribadi, 8 orang hanya lulus tes potensi akademik, 5 orang hanya lulus tes wawasan kebangsaan, 10 orang lulus tes karakter pribadi dan tes potensi akademik, 7 orang lulus tes potensi akademik dan tes wawasan kebangsaan, 30 orang lulus tes karakter pribadi dan tes wawasan kebangsaan. Berapa orang yang diterima menjadi guru Matematika?

D. Penutupan

1. Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakteristik yang sama atau terdefinisi dengan jelas.

2. Himpunan semesta adalah himpunan yang anggotanya seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dilambangkan dengan dengan S.

3. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ⊂ B.

4. Himpunan Kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotanya seluruh himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan P(A).

5. Dua himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A, dilambangkan dengan 

A = B.

6. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua aggota tanpa S yang merupakan anggota himpunan A dan himpunan B, dilambangkan A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}.

7. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau saling asing, jika tidak ada anggota A yang merupakan

anggota B dan tidak ada anggota B yang merupakan anggota A, dilambangkan dengan A // B.

8. Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota tanpa S yang merupakan anggota himpunan A atau anggota himpunan B, dilambangkan dengan A ∪ B.

9. Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan semesta yang bukan anggota himpunan A, dilambangkan dengan Ac.

10. Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota himpunan A yang bukan anggota himpunan B, dilambangkan dengan A – B.

11. Berbagai sifat-sifat operasi himpunan yang perlu kamu ketahui sebagai berikut.

Untuk sebarang himpunan A, B, dan C, berlaku sifat-sifat sbb.

    a) Sifat komplemen

        i) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

        ii) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

        iii) (Ac)c = A

    b) Sifat identitas

        i) A ∪ Ø = A

        ii) A ∩ Ø = Ø

    c) Sifat idempoten

        i) A ∪ A = A

        ii) A ∩ A = A

    d) Sifat komutatif

        i) A ∪ B = B ∪ A.

        ii) A ∩ B = B ∩ A.

    e) Sifat asosiatif

        i) (A ∪ B) ∪ C =A ∪ (B ∪ C).

        ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

    f) Sifat distributif

        i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

        ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

    g) Selain sifat-sifat di atas berlaku juga sifat:

        i) Himpunan kosong (Ø) merupakan himpunan bagian dari semua himpunan.

        ii) Jika n(A) = k, maka n(P(A)) = 2k, k bilangan bulat positif.

        iii) Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A.

        iv) Jika A ∩ B = Ø maka A – B = A dan B – A = B.

        v) Jika A ⊂ B, maka A – B = Ø.

        vi) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).

        vii) n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C).

        viii) Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B.